上班时间用公司的电脑做私事被开除，可以要求赔偿吗？

上班时间用公司的电脑做私事被我抓到俩次我可以开除他吗？第一次在逛淘宝，第二次在玩游戏，但是没有留下证据，只是出来罚款通知单，第一次他签字了，第二次他没有签字，这样罚款合理吗？我可以开除他吗？以这个理由，进公司时间一年，合同俩年，公司未购买社保，（五险一金）之前有拖欠他半年的公司，现在还拖欠俩个月，如果开除我要赔偿他多少钱。