试用期未签合同，辞职后要求赔偿

我司为私营单位，一名员工在未毕业的情况下，来我司请求实习。我们当时达成口头协议，拿到毕业证之前都为实习期，按实习工资发放。拿到毕业证后，试用期为3个月，按试用工资发放（无3险1金），（因为是销售岗位）如果3月内无业绩，会根据公司领导考虑其工作态度再决定是否延长3个月试用期或劝其离职。
在其员工工作期间，虽然有一笔业绩。但是员工半年都不能完成公司安排工作。还违反公司制度。但是考虑到公司缺人，在年底要求其员工写转正申请，以便签订合同和购买相关保险。但是其员工拒绝写申请。当时我们考虑他可能是业绩不好，工资低。想换工作，所以通知他可以考虑到年后申请转正。结果他是处心积虑。
现在该员按照正常程序离职后。现在突然向我司提出仲裁。请问我司是否有任何法律责任？我司要提供什么东西？
而且该员工离职时，在明确要交接手里工作的情况下，还带走了他负责的与客户签订的相关合同。对我司以后的造成了影响，我司是否可以依此提出赔偿？

补充:以上重点为，我司只为签订了正式合同的正式员工购买3险1金。实习期和试用期都不会签订合同和购买保险。工资是按双方口头协议正常发放。