员工休病假11个月，劳动合同将于一个月后到期，公司是否可以提出解除劳动关系

一位员工自2010年12月休病假至今，公司按照相关规定发放6个月病假工资，从2011年7月起停发工资，6个月医疗期到期后，该员工一直没来上班，也未办理任何续假手续。该员工劳动合同2011年12月底到期。公司已提前一个月告知，不续签劳动合同。请问：公司可以与他解除劳动关系吗？如果解除劳动关系，需要支付哪些费用？该员工2008年3月份入职。
注：通过打听得知，该员工已在其他企业就职，但未签劳动合同，也未告知本公司。该员工现在要求公司补偿。