劳动合同到期，可否要求用人单位续签

律师您好，我是吉林市吉化公司香兰素厂的一名化工操作员工（社会用工），本人从2001年5月开始在香兰素长上班，当时香兰素厂属于民营的性质，也没跟我签订劳动合同，当时年纪小，也不懂劳动法，所以也就没在意劳动合同的事。2004年，单位被当时的吉林市精细化学品厂收购，单位的名称换成什么我也忘了。2005年5月，单位又被中石油接管，改名为吉林市吉化公司香兰素厂，即使被中石油接管，但是当时也没给我们缴纳三险，知道2008年一月一日，单位才开始给缴纳三险。2005年至今，我印象中好像是签订了一次两年和两次两年半的合同，当时签订合同的时候我们也没细看合同条款，只记得合同是在2012年的六月三十号到期，到今天也就是2012年的7月12日，单位也没通知我们合同到期，是否续签的事宜，请问律师，我这种情况下，是否有权利要求单位跟我继续签订劳动合同，是否可以要求单位跟我订立无固定期限的劳动合同，如果不可以继续签订劳动合同，我将获得怎样的赔偿。