劳动合同和申社保问题

2004上半年大学快毕业进入一家公司工作，7月毕业后公司才和我签订劳动合同（说7月之前没毕业算学生，是实习）。2011年因母亲生病需要照顾，2011年1月15日提出辞职申请，2月17日公司没有批准的情况下主动离职（提出辞职报告已经一个月），3月15日公司让回去办理了离职手续。2011年5月15日前公司又招回去上班，并重新签订劳动合同，工作一直到现在2013.3.1日，但是公司把两份合同都放在公司，每月发工资也不给工资条，后发现公司在2004.7-2013.2月均为按劳动法缴纳养老保险。所以2013.3.1日我提出辞职报告，原因是公司未按规定给我缴纳养老保险。问题如下：
1、 公司在我2004.7月毕业前工作了几个月不签劳动合同合法吗？如果不合法，怎么补偿?（原因是没毕业，毕业前算实习，毕业后签合同算员工）2、2011.1.15日提出辞职，2月17日离开公司（公司没有办理离职手续），3月份15日办理离职手续，那么2月和3月应该上社保吗?2.17日-3.15日期间公司是否应该补偿一个月的双倍基本工资？
3、2011.5月15日前被公司招回工作，是否当月应该上保险？
4、3月离职5月又返还回原来公司的，4月份的保险公司可以给上吗？
5、2013.3.1日提出辞职，理由是公司未交保险，如果公司在3月份补交了之前的保险欠费，离职时有补偿吗，（是公司不给上保险才辞职的）。如果有，怎么补偿？如果离职后公司还是没有给补交保险，可以要求补交并要求补偿吗？