没有写时间的劳动合同怎么证明公司确实拖了几个月才签的合同

我08年10月6日进入的公司，公司一直不给签合同，09年2月份公司同意签订合同，但要我必须提供失业证，没有失业证不给签（我08年刚毕业第一次就业），我2月6日办好了失业证，2月20日，公司让我填了一份合同，但领导和公司都没有签字盖章。在签订合同之前，公司就说不准写最后落款时间，说公司统一写。3月20日在我们的强烈要求下，公司领导才在合同上签字盖章，但也没有落款时间。我们合同上期限为：09年2月1日-10年1月31日。
1、没有落款时间我们合同算什么时间签的呢怎么证明？
2、我失业证上的办理时间为09年2月6日，能不能证明公司确实没有及时签订合同。怎样证明公司领导3月20日签的字。
3、合同上写的期限09年2月1日-10年1月31日，能否证明公司确实没有在一个月内跟我们请合同。
4、根据上面情况我申请劳动仲裁要求公司从第二个月支付双倍工资有多大把握？毕竟公司没有及时签订合同。