公司因为员工做私活触犯了公司制度，要开除员工。员工反过来要告公司。

我经营一家公司，公司明文规定几条不可触犯的底线,首先就是不能使用公司的员工名字去接私活，另外包括每个月迟到超过10次，所交付任务一拖再拖等等。但是有员工非但接了私活，还用了公司其他员工的名字作为其他公司的员工资料；并且所做的公司业务一拖再拖，被甲方投诉，造成公司几项业务不能顺利开展并影响了兄弟公司的业务，后果非常严重。因此公司决定按照公司制度予以辞退。但是由于公司行政人员的失误，本来应该5月续签的合同，未能及时签订。该员工以此为由说我们非法用工，要求赔偿双倍工资并且主张按照工作月份及年薪折算今年应得的工资。
该员工的论据：
1.你未和我续签劳动合同，我就不是你的员工，顶多算兼职，你无权干涉我的行为。并且其他员工的署名权属于员工本身，你无权干涉；
2.我要主张按照年薪求得今年工作以来的折算的所有收入；

我承认因为行政的失误，同意赔偿未续签合同以来的双倍工资；但是他的消极怠工、利用公司同事的签名，甚至拉他们一起做私活，严重影响了公司的声誉和甲方对我们的信任；他声称这样的情况只是兼职，但是公司的兼职人员的情况是：不用打卡，随时出去不用请假；但是这位员工号称兼职，但是还是参与打卡，记考勤，出去需要请假，并且我们公司一直在给他交社保医保，难道仅仅是因为未能及时续签劳动合同而可以为所欲为吗？他要一个说法，但是造成公司的重大损失怎么说？

我咨询的关键问题：他这样的未续签劳务合同但是社保医保一直有在我们公司并且每日打卡记考勤，算不算我们公司的员工？他的所作所为，是否是法律支持、允许的？公司的规章制度还对他有用吗？